신문은 선생님

미국 프로야구를 뜻하는 메이저리그, 영국 프로축구인 프리미어리그…. 스포츠 뉴스를 보다 보면 다양한 종목에서 '리그(league)'라는 용어를 접하게 돼요. 여기서리그는 우승을 가리기 위해 경기를 벌이는 스포츠 집단을 뜻하고,리그전(league match)은 대회에 참가한 모든 팀이 돌아가며 한 차례씩 경기를 치러 순위를 매기는 경기 방식을 말한답니다. 리그전으로 경기를 치르면 모든 팀에 똑같은 기회가 주어지지만, 그만큼 시간이 많이 소요되는데다 승점이 동일한 팀이 나오기 쉬워요.

재밌는 건 리그전의 총 경기를 구하는 과정에 수학 공식이 숨어있다는 건데요. 예를 들어 리그전 참가 팀 수를 'n'이라 하면, A팀은 자신을 제외한 (n-1)개 팀을 상대로 경기를 치르게 됩니다. 하지만 잘 생각해보면 A팀이 B팀과 경기하는 상황과 B팀이 A팀과 경기하는 상황은 사실상 같잖아요?

이렇게 중복되는 경기 수를 제외해야 하기 때문에 n개 팀이 리그전을 벌이는 총 경기 수는 'n(n-1)/2'회입니다. 즉 리그전의 총 경기 횟수를 구하는 공식은 여러 명(n명) 가운데 두 명씩 짝을 짓는 '경우의 수'를 구하는 수학 공식과 같다는 것을 알 수 있죠.

그런데 이렇게 리그전을 치를 경우 팀이 늘어날수록 경기 수도 급격히 증가하게 되는데요. 이런 단점을 보완하기 위한 경기 방식이 '토너먼트(tournament)'랍니다. 시합에서 진 팀은 바로 탈락하고 이긴 팀들끼리 남아 최종 승자를 가리는 방식이죠.

토너먼트의 경우 모든 경기가 한 번에 끝나기 때문에 총 경기 수는 우승 팀이 치르는 경기 수와 똑같답니다. 예를 들어 10개 팀이 참여하는 토너먼트라면, 우승 팀은 자신을 제외한 총 9개 팀과 경기를 치르게 되죠. 이를 수학 공식으로 표현하면 n개 팀이 참가한 토너먼트 총 경기 수는 'n-1'회랍니다. 리그전일 때와 비교하면 경기 수가 크게 차이 나는 점을 확인할 수 있나요?

이러한 이유로 대부분의 스포츠 경기에서는 리그전과 토너먼트를 혼합하는 방식으로 우승 팀을 결정합니다. 조별 예선은 리그전으로 진행하고 본선 진출자들만 모아 토너먼트로 우승자를 가리는 방식이죠. 그럼 이제 실전 문제를 내볼까요? 32개 팀이 참가해 8개 조로 나누어 리그전으로 조별 예선을 치르고, 각 조 2위까지 본선에 진출하는 토너먼트를 진행하려 합니다. 이 경우 치러지는 총 경기 수는 몇 회일까요?

조별로 4개 팀이 리그전을 치르므로 한 조에서 진행되는 리그전의 횟수는 4(4-1)/2=6회입니다. 8개 조가 있으니 예선전에서는 6×8=48회 경기를 해야 해요. 리그전에서는 각 조 2위까지 총 16개 팀이 본선에 진출하므로 토너먼트 횟수는 16-1의 결과인 15회죠. 따라서 예선·본선에서 치러지는 총 경기 수는 63회(3·4위전 제외)랍니다.