신문은 선생님

지영이네 반에서 연극을 하는데 역할 분담을 사다리 타기를 해서 정했어요. 집에 돌아와 대학생 삼촌에게 물었죠.

"삼촌, 학교에서 4명이 사다리 타기로 연극에서 할 배역을 정했어요. 3명까지 사다리 타기를 하고 마지막 한 사람은 사다리 타기를 하지 않고 남은 배역을 맡았어요. 만약 그때 사다리 타기를 했다면 다른 결과가 나올 수도 있었을까요?"

"네 생각은 어떠하니? 다른 결과가 나올 수도 있을 것 같니?"

"아마도 같은 결과가 나올 것 같아요. 하지만 사다리를 매우 복잡하게 그린다면 다르게 나오지도 않을까요?"

"네 생각이 옳기도 하고 아니기도 하구나. 사다리 타기는 게임 규칙에 맞도록 진행한다면 아무리 복잡하게 그리더라도 그 결과가 겹치지는 않는단다."

"사다리 타기에도 규칙이 있나요?"

▲ /그림=나소연

"물론 있지. 너 또한 잘 알고 있을 거야. 우선 위와 아래에 동일한 개수의 항목을 적어야 해. 또 어떤 규칙이 있을까?"

"아, 저도 알아요. 높이가 같은 가로선을 연속으로 그으면 안 돼요."

"사다리 탈 때 규칙은 무엇이 있을까?"

"사다리를 탈 때에는 세로선을 따라 위에서 아래로 진행하고, 내려가다 가로선을 만나면 그 가로선을 따라 바로 옆의 세로선으로 이동하여 아래로 내려가야 해요."

"이제 사다리를 매우 복잡하게 그리더라도 왜 그 결과가 겹치지 않는지를 알아볼까? 가장 단순한 사다리 타기를 해보자. 두 명이 사다리 타기를 하는데 가로선이 하나도 없어. 두 사람은 각기 다른 선택을 하겠지. 이제 이 사다리에 가로선을 한 개 추가해. 그러면 두 사람의 선택은 서로 바뀌게 돼. 결과가 서로 겹치지 않아. 위치만 바뀐 거지."

"삼촌, TV 예능 프로에서 복불복 벌칙을 정할 때 멤버들이 각자 한 가지를 선택하고 나서 사회자가 '두 사람이 서로 바꾸겠습니까?' 해서 서로 바꾸었을 때와 같은 상황인가요?"

▲ /그림=나소연

"참 좋은 비유를 하였구나. 사다리 타기에서 가로선이 여러 개 있다는 것은 복불복 벌칙 정하기에서 두 사람씩 각자 선택한 것을 서로 맞바꾸는 것을 여러 번 한 것과 같단다. 그 결과는 항상 한 사람에게 한 개의 선택권을 주고 복불복 선택지가 한 개 남아 있지는 않잖아.

이것을 조금 어려운 말로 '일대일대응(one to one correspondence)'이라고 한단다. 일대일대응이란 두 집합의 원소 사이에서 어느 원소도 빠지거나 남음이 없이 짝을 지우는 대응을 말해. 게임에 참여하는 사람의 수와 선택될 항목의 수가 항상 같으므로 사다리 타기 게임에서는 출발하는 지점이 다르면 도착하는 지점도 달라진단다. 사다리 타기는 공정한 게임이야.사다리 타기에서 내가 원하는 결과가 나오도록 그림을 그릴 수 있단다. 예를 들어 아래의 결과를 얻는 사다리 타기를 그려볼까?"

"먼저 세로선 없이 위쪽에 1, 2, 3, 4, 5를 쓰고, 아래쪽에 A, B, C, D, E를 쓴 다음 원하는 결과가 되도록 선으로 연결해. 이때 선은 자유롭게 꼬불꼬불 그려도 좋으나 세 개 이상의 선이 한 점에서 만나서는 안 된단다. 그리는 방법은 여러 가지가 있을 수 있어. 정확히는 무수히 많은 거지."

"이제 두 선이 만나는 교차점을 알파벳 H 모양으로 바꾸어 사다리 그림을 다시 그려.각 교차점을 H 모양으로 바꾸어 그린 다음 반듯한 세로선과 가로선으로 바꾸어 그리면 우리가 원하는 결과를 얻는 사다리 타기 그림이 완성된단다."

▲ /그림=나소연

"우와, 신기하네요. 저도 그려봐야겠어요. 그럼 삼촌, 만들어진 사다리 타기에서 선 한 개를 몰래 그려 넣어서 두 사람 것만 바꿀 수도 있어요? 청소 당번 정하기 같은 사다리 타기에서 써먹어야겠어요."

"하하하, 가능하지. 잘 생각해봐. 위에서 2번과 3번을 바꾸고 싶다면 두 사람이 바뀐 지점 앞뒤에서 한 번 더 바꾸어 주면 되겠지. 하지만 그건 반칙인데."

"준수가 저를 자꾸 골탕먹여요. 그래서 저도 한번 골려 줄 거예요."

지영이는 사다리 타기 그림 만들기를 열심히 연습했어요. 여러 가지 사다리 타기를 만들어 보면서 사다리 타기에서 나타나는 규칙도 찾게 되어 신기했죠. 이제 학교에서 사다리 타기를 하면 준수를 골려 줄 수 있을 것 같은 생각에 미소도 지었어요.


[관련 교과] 4학년 2학기 '규칙과 대응'


[함께 생각해봐요]

다음의 결과를 나타내는 사다리타기를 만들어 보시오.

풀이: 다음 사례를 비롯해 여러 가지가 나올 수 있어요.