신문은 선생님

기광이는 생일에 반 친구들을 초대해 생일 파티를 하려고 초대장을 만들어 학교로 갔어요.

"얘들아, 다음 주 토요일이 내 생일이라 파티를 하려고 하는데 너희가 꼭 와줬으면 좋겠어" 하고 말하며 친구들에게 초대장을 나눠 주었어요. 그런데 친구들이 생일 파티에 오겠다는 얘기를 선뜻 하지 않는 것이었어요. 알고 보았더니 기광이의 반 친구 중 아진이와 정란이의 생일도 다음 주 토요일인데 둘의 생일 파티를 함께해 친구들이 거기에 가겠다고 약속했던 것이었어요.

시무룩해진 기광이는 집에 와 저녁도 먹지 않고 방에 가만히 있었습니다. 퇴근한 아버지가 그 모습을 보고 기광이에게 물어보았습니다.

"학교에서 무슨 일 있었니?"

"친구들을 제 생일 파티에 초대하려고 했는데 제 생일과 같은 날짜에 생일인 친구들의 생일 파티에 간다고 해서 제 생일 파티에 올 친구가 없을 것 같아요. 아빠 1년은 365일이니 366명이 있어야 생일이 같은 사람이 2명 있는 것 아닌가요?"

"물론 366명(윤년을 고려하면 367명)이 되면 그 안에 생일이 같은 사람이 적어도 두 명 존재하겠지. 하지만 사람이 50명 정도만 있어도 생일이 같은 날짜인 사람이 있을 확률은 매우 높단다."

"왜 그렇죠?"

"확률을 구하는 방법은 여러 가지인데 이때는 확률의 합인 1에서 생일이 같은 사람이 없을 확률(=모든 사람의 생일이 서로 다를 확률)을 빼서 생일이 같은 날짜인 사람이 있을 확률을 구해주면 된단다. 이렇게 계산하는 이유는 모든 날짜별로 생일이 같은 경우의 확률을 모두 더하는 것보다 전체 확률에서 생일이 서로 다른 경우의 확률만 빼주는 게 더 쉽기 때문이야. 그리고 이것을 식으로 나타내면 '1-생일이 같은 사람이 없을 확률(=모든 사람의 생일이 다를 확률)=생일이 같은 사람이 있을 확률'로 나타낼 수 있단다."

"이해가 잘 안 돼요."

"말로만 들어서는 어려울 수 있으니 예를 들어서 설명해 볼까? A와 B 두 사람이 있을 때 이 둘의 생일이 같을 확률을 구해볼게. 먼저 A가 1년 365일 중에 어느 날짜든 생일일 확률은 얼마나 될까? 여기서 윤년은 특별한 경우니깐 포함하지 않고 생각하자."

"어느 날짜든지 상관없다면 확률은 1(=100%)이겠지요."

"그래. 그럼 B의 생일이 A와 다른 날짜일 확률은 얼마일까?"

▲ /그림=이창우

"365일 중에 A가 생일인 날을 제외하고 선택해야 하니깐 364가지 경우가 있네요. 이런 경우 확률은 364/365가 되네요."

"자 그럼 위에서 구한 경우의 수를 이용해서 A·B 두 명의 생일이 같을 확률을 구해보면 1-365/365×364/365≒0.3%가 된단다."

"A와 B의 생일이 다를 경우를 구해주는 건 알았는데 두 확률을 왜 곱해주는지 모르겠어요."

"그건 A의 생일 하루당 B의 생일을 364가지씩 선택할 수 있기 때문이란다. A의 생일이 3월 1일일 때 B가 생일일 수 있는 날짜는 364가지이고, A의 생일이 3월 2일인 경우에도 B가 생일일 수 있는 날은 364가지이므로 A가 고를 수 있는 경우에서 B가 고를 수 있는 경우를 곱하면 되는 거란다. 이렇게 경우의 수를 곱해서 구하는 것처럼 확률도 곱해서 구할 수가 있단다."

"아하 그렇군요!! 근데 아빠 아까 50명 정도일 때 같은 생일인 사람이 있을 확률이 매우 크다고 말씀하셨는데 두 명일 경우에 생일이 같을 확률은 0.3% 정도밖에 되지 않는데요?"

"그건 사람 수가 너무 적어서 겹칠 수 있는 경우가 한정적이라서 그렇단다. 우리 같은 방법으로 5명, 10명, 20명, 50명이 있을 때 생일이 같은 사람이 있을 확률을 구해보도록 할까?"

"네, 제가 한번 해볼게요. 2명의 생일이 같 을 확률을 구할 때와 똑같은 방법으로 5명 중 생일이 같은 사람이 있을 확률을 구해보면,1-365/365×364/365×363/365×362/365×361/365≒3%

10명 중 생일이 같은 사람이 있는 확률은

1-365/365×364/365×363/365×362/365×361/365×360/365×359/365×358/365×357/365×356/365≒12%

20명 중 생일이 같은 사람이 있을 확률은

1-365/365×364/365×363/365×…348/365×347/365×346/365≒41%

50명 중 생일이 같은 사람이 있을 확률은

1-365/365×364/365×363/365×…318/365×317/365×316/365≒97%가 되네요."

"어때? 50명만 있어도 생일이 같은 사람이 있을 확률이 97% 된다니깐 신기하지 않니?"

"네. 매우 신기해요!"

이때, 기광이 집에 전화가 걸려오기 시작했습니다.

"여보세요."

"기광아, 나 정란인데, 나랑 아진이는 네 생일이 우리랑 같은 날짜인 줄 몰랐어. 나랑 아진이는 우리 둘 생일이 같은 것도 매우 신기해했거든."

"괜찮아. 우리 반의 인원이 32명이니 생일이 같은 사람이 있을 확률은 □%니깐 같은 사람이 있을 수가 있지."

"기광아, 혹시 괜찮으면 우리랑 같이 생일 파티 하지 않을래?"

"나야 아주 좋지."


[관련 교과] 6학년 2학기 '경우의 수와 확률'


[함께 생각해봐요]

기광이네 반의 인원이 32명일 때 생일이 같은 사람이 있을 확률은 얼마나 될까요? 계산기를 이용해 구해봅시다.(소수점 첫째 자리에서 반올림)

[정답] 1-365/365×364/365×363/365×362/365×…×335/365×334/365≒75%