개념쏙쏙! 수학

"이번 주말에 새로 생긴 중국집에서 할아버지, 할머니와 외식할까?"

매주 청한이네 가족은 할아버지, 할머니를 만나 외식을 하는데 이번 주는 아빠가 중국집에 가고 싶어 합니다.

"좋아요! 꼭 가보고 싶었어요. 주방장 아저씨가 밀가루 반죽을 접고 늘이고 하는 과정이 신기하더라고요."

"네가 본 것처럼 기계로 면을 만들지 않고, 손으로 밀가루 반죽을 치대서 가는 면을 뽑아 자장면을 만든 것을 수타 자장면이라고 부르지."

"아, 그래서 중국집에 '수타면'이라고 쓰여 있는 거군요. 자장면 한 그릇에 얼마나 많은 면 가닥이 필요한데."

"하하하. 청한이 말대로 한 그릇에는 많은 면 가닥이 필요하지. 보통은 한 그릇을 128가닥으로 만든단다. 하지만 한 그릇을 만드는 데 그렇게 오래 걸리지 않아."

"한 가닥, 두 가닥, 세 가닥…. 언제 128가닥을 만들어요?"

"아까 주방장 아저씨가 접었다가 늘였다가 하는 것을 봤다고 했지? 거기에 수타 자장면의 비밀이 있단다. 종이접기와 같은 원리인데, 종이를 한 번 반으로 접으면 두 겹이 되고, 두 번 접으면 몇 겹이 되지?"

"두 겹을 다시 반으로 접은 거니까 2 곱하기 2는 4. 두 번 접으면 네 겹이 돼요."

"맞아. 수타 자장면도 같은 원리란다. 한 가닥을 한 번 접으면 두 가닥이 되고, 두 가닥을 또 접으면 네 가닥이 되고, 네 가닥을 또 접으면 여덟 가닥이 되고, 이렇게 접을 때마다 가닥의 수는 두 배로 커지게 되는 거지. 그러면 자장면 한 그릇을 만드는 데 어느 정도 걸릴지 예상할 수 있겠니?"

"한 번 접을 때마다 두 배로 늘어난다는 거죠? 그러면 처음에는 하나에서 시작하니까 1, 2(1×2), 4(2×2), 8(4×2), 16(8×2), 32(16×2), 64(32×2), 128(64×2)이니까 일곱 번 접은 거네요. 우와, 신기해요. 일곱 번 접어서 128가닥의 면을 만들다니."

"생각보다 간단하지? 한 번 접을 때마다 두 배로 늘어나는 거니까, 한 번 접으면 처음 수에 2를 한 번 곱한 것과 같고 두 번 접으면 처음 수에 2를 두 번 곱한 것과 같아. 자장면 한 그릇은 한 가닥을 일곱 번 접은 거니까, 처음의 1에 2를 일곱 번 곱한 것과 같지. 그래서 1×2×2×2×2×2×2×2=128이 되는 거야. 이렇게 같은 수를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱이라고 부르지. 거듭제곱을 이용하면 작은 숫자도 금세 큰 숫자로 만들 수 있어. 혹시 더 궁금한 것이 있니?"

"아니요. 궁금한 것은 없지만, 아빠한테 부탁할 것이 있어요. 용돈요."

"용돈이 너무 적어? 아빠가 매주 만 원씩 주잖아."

"아니요. 그동안 저금한 돈이 있어서 이번 주는 조금만 주셔도 될 것 같아요. 그래서 이번 주는 100원만 받을게요. 대신 그다음부터는 두 배씩 올려주시면 안 돼요?"

"아! 아빠가 알려준 것을 그대로 써버렸네. 청한이가 거듭제곱에 대해서 잘 이해했구나. 아빠가 당할 뻔했네. 짧은 순간에 어떻게 그런 생각을 했니?"

"계산을 해본 건 아니지만, 거듭제곱을 이용하면 작은 숫자도 금방 커진다고 해서 우선 작은 숫자를 이야기해 본 거였어요."

"그럼 몇째 주 지나면 원래 용돈보다 많아지는지 계산해볼까?"

"첫 주에는 100원, 둘째 주에는 100×2=200원, 셋째 주에는 100×2×2=400원…. 일곱째 주에는 100×2×2×2×2×2×2=6400원이고, 일곱 주가 지나서 여덟째 주가 되면 100×2×2×2×2×2×2×2=12800원이네요. 여덟째 주에 원래 받고 있던 용돈인 만원을 넘어가요."

"그리고 그다음에는?"

"아홉째 주에는 25600원, 열째 주에는 51200원, 열한째 주에는 102400원이니까 10만원이 넘죠. 열두째 주가 되면 20만원이 넘고, 그다음에는 40만원이 넘고, 점점 많은 돈을 받게 되네요!"

"실수로 아빠가 청한이랑 약속했으면 큰일 날 뻔했겠는데?"

"아쉽지만 괜찮아요! 주말에 할아버지, 할머니와 중국집에 가면 수타면을 만드는 주방장 아저씨를 보면서 어떻게 많은 면이 만들어지는지 수학적으로 설명해 드려야겠어요."

[함께 생각해봐요]

이론적으로는 종이를 여러 번 접으면 지구에서 달까지 닿을 수 있을 만큼 두꺼워진다고 합니다. 그러려면 몇 번을 접어야 할까요? 종이 한 장의 두께는 0.1㎜이고, 지구와 달의 거리는 대략 최대 40만6000㎞입니다.

답: 406000㎞=406000000m=40600000000㎝=406000000000㎜입니다. 계산기를 이용해 0.1을 입력하고 2를 몇 번 곱하면 지구와 달 사이의 거리보다 크게 되는지 확인해 봅니다. 0.1에 2를 42번 곱하면 439804651110.4㎜가 됩니다. 즉 이론적으로는 종이를 42번 접으면 달까지 닿게 됩니다.

[관련 교과] 2학년 1학기 '곱셈', 3학년 2학기 '곱셈'