재미있는 과학

"우아~ 세계 인구가 71억명을 넘었네요?"

실시간으로 세계 인구를 알려주는 인터넷 사이트를 보던 민영이가 깜짝 놀라며 말했어요.

"그래, 우리나라 인구가 대략 5000만명이란 점을 생각하면, 세계에는 정말 많은 사람이 살지?"

"네. 그런데 그렇게 많은 사람 중에 일란성 쌍둥이를 제외하고, 외모가 똑같은 사람이 하나도 없다는 점도 참 신기해요."

"하하. 그게 바로 유전자의 신비란다. 사람의 유전자는 4종류의 염기가 30억개나 늘어선 구조로 되어 있어서, 그로 인해 만들어질 수 있는 경우의 수가 무한대에 가깝거든. 그래서 비슷하게 생긴 사람은 있을 수 있어도 완전히 똑같은 사람은 없는 거야."

"와~ 인체는 정말 신비롭네요. 하지만 어떤 사람들은 지구 상에 자신과 똑같이 생긴 사람이 한 명은 있다고 주장하기도 하던데요?"

"하하. 그건 미스터리한 이야기를 좋아하는 사람들이 만들어낸 이야기일 거야. 하지만 머리카락 수가 똑같은 사람은 얼마든지 있을 수 있지. 서울에만 적어도 100명 이상은 될걸?"

"에이~ 아빠, 그걸 어떻게 알아요? 아하! 머리카락이 없는 사람 말씀하시는 거죠?"

"하하. 아니야. 머리카락이 없는 사람은 제외한 것이란다. 그리고 아빠가 말한 '100명 이상'이라는 말은 이미 수학적으로도 검증되었어."

"예? 사람들의 머리카락 수를 전부 세어서 비교해 본 것도 아닐 텐데, 그걸 어떻게 알아요?"

"꼭 비교해 보지 않더라도 알 수 있지. '비둘기 집의 원리'로 말이야."

"네? 뜬금없이 웬 비둘기 집?"

"하하. 아빠 말을 잘 들어 보렴. 9개의 비둘기 집에 각각 한 마리씩 들어갈 수 있다고 하면, 10마리가 들어가는 방법이 있을까?"

"집이 9개뿐이니까, 당연히 10마리가 들어갈 방법은 없지요."

"그래. 그게 바로 비둘기 집의 원리란다. 당연한 사실 같지만, 독일의 수학자인 페터 디리클레(1805~1859)는 이 원리를 통해 다양한 수학 원리를 밝혀내고 새로운 원리를 발견해 내기도 했지."

"정말요? 제가 보기에는 아주 당연한 사실 같은데…."

"그럼 왜 아빠가 머리카락 수에 대해 이야기를 했을 때는 당연하다는 반응을 보이지 않았니? 그것과 '비둘기 집 원리'는 똑같은데 말이야."

"그게 똑같다고요? 아빠, 이해가 안 돼요."

"비둘기 집 원리를 조금 응용해 볼게. 아파트 엘리베이터에 세 사람이 탔는데, 층 버튼은 두 개만 눌려 있다고 하자. 그럼 그들은 각자 다른 층에 살고 있다고 할 수 있을까?"

"아니요. 엘리베이터 문은 두 번 열리고 사람은 3명 탔으니, 2명은 같은 층에 살아요."

"좋아. 그럼 조금 더 어려운 문제를 낼게. 아주 캄캄한 방에 6가지 색깔의 양말이 무수히 많이 섞여 있다고 하자. 그럼 최소한 몇 개의 양말을 들고 나와야 무조건 색깔이 같은 한 켤레를 만들 수 있을까?"

"음…. 운이 나쁘면 6개를 가지고 나와도 전부 다른 색일 수도 있겠지요? 아하! 7개를 들고 나오면 적어도 한 켤레는 무조건 짝이 맞겠네요."

▲ /그림=이창우

"와~ 잘 맞혔어. 그럼 마지막으로 한 문제만 더 풀어 보자. 학생 수가 30명인 반이 있어. 그럼 이 반 학생 중 같은 요일에 태어난 사람은 적어도 몇 명일까?"

"음…. 이 문제는 조금 어렵네요."

"1주일이 7일이란 걸 생각하면, 양말 문제처럼 풀 수 있을 거야."

"아하! 1주일이 7일이고, 30명은 '7×4+2'이니까, 최대한 적게 겹치게 하더라도 같은 요일에 태어난 사람이 적어도 5명은 되겠네요."

"맞아, 정답이야! 7일을 일곱 개의 비둘기 집으로 생각하고 30마리의 비둘기를 넣는다고 생각하면, 어떤 방에는 적어도 5마리가 들어가야 하는 상황이 생기지. 자, 그럼 아까 아빠가 머리카락에 대해 한 말을 이해할 수 있겠지?"

"아, 알겠어요! 서울의 인구가 머리카락 수보다 훨씬 많으니까, 머리카락 수가 같은 사람이 많다고 하신 거군요?"

"맞아. 머리카락은 한 사람당 10만~15만 가닥 정도이고, 서울의 인구는 대략 1000만명이란다. 계산하기 쉽게 최대 머리카락 수를 10만 가닥으로 한다면, 10만개의 비둘기 집에 1000만 마리의 비둘기를 넣는 문제가 되는 거야. 즉 '1000만÷10만=100'이 되므로, 적어도 100명은 머리카락 수가 같다고 할 수 있지."

"와! 단순한 원리 같은데 이렇게 문제로 접하니 정말 재미있는 수학 원리로 느껴지네요."

"그렇지? 비둘기 집 원리는 정말 많은 분야에 적용되고 있단다. 한 가지 예를 들면, 안전벨트의 폭은 국제 규격이 4.7㎝로 정해져 있는데, 4㎝도, 5㎝도 아닌 어중간한 길이로 정한 것은 벨트의 폭이 좁을수록 몸에 가해지는 압력이 커지고, 반대로 너무 넓으면 꼬임 현상이 일어날 수 있어 위험하기 때문이야. 즉, 위험한 범위를 벗어나는 최소한의 폭을 계산하여 4.7㎝라는 결과를 얻은 거지."

"안전벨트에도 비둘기 집의 원리가 숨어 있다니 정말 신기해요. 이 원리가 적용된 사례를 좀 더 찾아볼래요."

"수학 공부를 좋아하는 민영이를 보니 아빠가 아주 뿌듯하구나. 하하."


[관련 교과] 1학년 2학기 '10을 가르기와 모으기' 3학년 2학기 '나눗셈' 4학년 1학기 '분수'


[함께 생각해봐요]

검은 양말 10짝과 흰 양말 10짝이 섞인 상태에서 불이 꺼져 아무것도 볼 수 없는 상황이 되었어요. 이때 최소한 몇 짝의 양말을 고르면, 같은 색 양말 한 켤레를 만들 수 있을까요?

해설: 정답은 3짝. 양말 색깔이 두 종류이므로, 2짝을 들고 나오면 서로 같은 색일 수도 있고 다른 색일 수도 있어요. 하지만 3짝을 들고 나오면 반드시 2짝은 같은 색(둘 다 검은색이거나 둘 다 흰색)이 되어 한 켤레를 만들 수 있지요.